Princípio fundamental de contagem

Caro leitor:

O objetivo do tópico é introduzir os conceitos básicos dos problemas de contagem nas séries iniciais. Não serão demonstrados casos que envolvam conhecimentos mais avançados.
Boa leitura.

Sabe-se que o PFC (princípio fundamental da contagem) surge da contagem das possibilidades existentes para combinarmos certos elementos, objetos. Quando pensamos em contagem, pensamos em operações aritméticas.

É importante notar que usamos com maior frequência quatro operações nas resoluções destes problemas: multiplicação, adição, divisão e subtração. Nos exercícios que serão citados, basicamente utilizaremos multiplicação e adição. 

Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressora e 3 tipos de "CPU". 
Solução: Para saber o número de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplicamos as opções:

3 x 4 x 2 x 3 = 72

Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes.

Um problema que ocorre é quando aparece a palavra "ou", como na questão:

Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento?

A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela comida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades:

(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90.

Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis.

Exemplo 3: Quantos números de três algarismos podem formar os dígitos 4, 6, 7, 8 e 9?

Solução: Para formar um número de três algarismos devemos escolher três algarismos ente os cinco propostos. Observe que a ordem da escolha é de extrema importância. Por exemplo: Se escolhermos os números 4, 6 e 9 nesta ordem formará o número 469. No entanto se escolhermos os mesmos algarismos em ordem diferente formará outro número. Por exemplo: se escolhermos 6, 9 e 4 nesta ordem o número obtido será 694. Os dois números possuem os mesmos algarismos com ordens diferentes. Vemos, portanto, que este é um tipo de problema onde a ordem de escolha dos algarismos é de fundamental importância.

Devemos notar também que podemos formar números como 664, 788, 999 etc. Ou seja, números com algarismos repetidos.

Pelo princípio fundamental da contagem a quantidade de números de três algarismos que poderemos formar será = (número de maneira de escolhermos o primeiro algarismo) x (O número de maneiras de escolhermos o segundo) X (o número de maneiras de escolhermos o terceiro algarismos)

= 5 X 5 X 5 = 125 números.

Exemplo 4: Quantos números de três algarismos distintos podem formar os dígitos 4, 6, 7, 8 e 9?

Solução: O raciocínio para este problema é o mesmo do exemplo 3. A única diferença é que não podemos formar números como 999, 466, 788, pois estes números possuem algarismos repetidos. Em outras palavras se um algarismo foi escolhido para compor o número ele não poderá mais ser escolhido. Portanto temos cinco maneiras de escolher o primeiro algarismos, já para a escolha do segundo algarismo temos quatro possibilidades de escolha, uma vez que o primeiro algarismo não poderá mais ser escolhido, e três possibilidades para o terceiro algarismos, pois dois algarismos já foram escolhidos. 

Assim temos:

Pelo princípio fundamental da contagem a quantidade de números de três algarismos distintos que poderemos formar será = (número de maneira de escolhermos o primeiro algarismo) x (O número de maneiras de escolhermos o segundo) X (o número de maneiras de escolhermos o terceiro algarismos)

= 5 X 4 X 3 = 60 números.

Fonte:

www.cead.ufop.br

www.infoescola.com/matematica/principio-fundamental-da-contagem/

Operações com Números Naturais

Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.

A adição de números naturais
A primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.

Propriedades da Adição

1.   Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.

2.   Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.

3.   Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.

4.   Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.

Multiplicação de Números Naturais

É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.

Exemplo: 5 vezes 8 é somar o número 8 cinco vezes:

5 x 8 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40

O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.

Propriedades da multiplicação

1.   Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais números naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.

2.   Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.

(a.b).c = a.(b.c)

(2.4).6 = 2.(4.6) = 48

3.   Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:

1.n = n.1 = n

1.7 = 7.1 = 7

4.   Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento.

a.b = b.a

3.4 = 4.3 = 12

Propriedade Distributiva

Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.

a.(b+c) = a.b + a.c

6 x (5+3) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48

Divisão de Números Naturais

Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.

Relações essenciais numa divisão de números naturais

1.   Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.

30 : 6 = 5

2.   Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.

30 = 5 x 6

3.   A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever:

n ÷ 0 = q

e isto significaria que:

n = 0 x q = 0

o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.

Potenciação de Números Naturais

Para dois números naturais p e q, a expressão pq é um produto de q fatores iguais ao número p, ou seja:

pq = p . p . p ... p . p

p aparece q vezes

O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é p. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é q. O resultado é denominado potência.

Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo:

53 = 5 × 5 × 5 = 125

24 = 2 × 2 × 2 x 2 = 16

Fontes:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-naturais.htm
http://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/

Números Naturais

Contexto Histórico

A matemática sempre esteve presente na vida humana. Suas contribuições são várias, sendo sempre necessária ao desenvolvimento da humanidade em seus diferentes aspectos.

Como qualquer área do conhecimento humano, a matemática nasceu da necessidade de povos antigos preocupados em responder os questionamentos sobre os vários enigmas existentes na formação do nosso planeta, em todas as suas criaturas, objetos e natureza em geral. Mas não só por esses motivos a matemática foi criada. Foi também pela necessidade de pastores em manter o controle de seus rebanhos.

A sensação de perda dos bens dos quais com tanto trabalho cuidara, fez com que o homem descobrisse a importância de arranjar um modo de se obter controle sobre o seu rebanho. Seria primordial encontrar um meio de registrar a quantidade inicial de ovelhas do rebanho e conferir essa quantidade no final do pastoreio, ou seja, comparar o número inicial com o número final de ovelhas lhes daria, com exatidão, a diferença entre esses dois valores: se o número de chegada fosse igual ao de saída, não haveria perda; caso o número de chegada fosse menor do que o de saída, estaria faltando ovelhas; caso o número de chegada fosse maior do que o de saída, ovelhas de outros rebanhos poderiam ter ingressado naquele.

Em meio a esse cenário de necessidades e limitações, surgiu a ideia de realizar a contagem e o registro desses dados utilizando pedras. Para cada ovelha que saia o pastor colocava uma pedra num saco e a cada uma que retornava ele retirava uma pedra. Nesse mesmo campo de ideias, os pastores passaram a utilizar riscos em ossos ou em pedras, as chamadas escritas cuneiformes, até a criação dos sistemas de numeração: maneira complexa e bem elaborada de registrar quantidades agrupando-as, ordenando-as e respeitando o seu valor posicional.

Introdução aos Números Naturais

O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.

Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo.

Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como:

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.

Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

A construção dos Números Naturais

1.   Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.

Exemplos: Seja p um número natural.

(a) O sucessor de p é p+1.

(b) O sucessor de 0 é 1.

(c) O sucessor de 4 é 5.

(d) O sucessor de 32 é 33.

2.   Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

Exemplos:

(a) 8 e 9 são números consecutivos.

(b) 4 e 5 são números consecutivos.

(c) 62 e 63 são números consecutivos.

3.   Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:

(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.

(b) 5, 6 e 7 são consecutivos.

(c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.

4.   Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).

Exemplos: Se p é um número natural finito diferente de zero.

(a) O antecessor do número p é p-1.

(b) O antecessor de 2 é 1.

(c) O antecessor de 56 é 55.

(d) O antecessor de 10 é 9.

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:

P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.

I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}

Nas próximas postagens traremos as operações fundamentais da aritmética com números naturais.

Fonte: 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-naturais.htm
http://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/

7 Desafios da Matemática

O Clay Mathematics Institute,

sediado em Boston, organizou o Millenium Meeting que ocorreu, em maio de 2 000, na cidade de Paris. O objetivo desse encontro era celebrar a entrada do novo milênio, anunciando prêmios para a resolução de alguns problemas que tem grande chance de nortearem o desenvolvimento da Matemática no século XXI.

Foram selecionados sete problemas, a cada um sendo dotado um premio de um milhão de dólares pela resolução, de acordo com regras minuciosamente descritas e que podem ser consultadas no site da American Mathematical Society.

Esses problemas são bem conhecidos da comunidade matemática. Por ordem de antiguidade:

Resolução das equações de Navier-Stokes ( c. 1830 )

Hipótese de Riemann ( 1859 )

Conjectura de Poincaré ( 1904 )

Conjectura de Hodge ( 1950)

Resolução das equações de Yang-Mills ( 1950 )

Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer ( 1965 )

Problema P versus NP ( 1971 )

Como seria de se esperar, vários desses problemas são de formulação bem técnica, em muito ultrapassando os conhecimentos de Matemática Elementar, o tema deste site.

Contudo, temos algumas exceções como é o caso de um dos mais antigos desses problemas: a Conjectura de Poincaré.

De um modo simplificado, ela afirma que todo objeto limitado, sem "buracos" e com fronteira lisa pode ser deformado continuamente numa esfera. É fácil verificarmos isso para o caso de objetos concretos do espaço euclidiano tri-dimensional, como caixas e cilindros fechados ( um exemplo de objeto NAO incluído na conjectura é uma xícara; com efeito é fácil vermos que o buraco envolvido pela alça NAO desaparece com deformações contínuas da xícara; vendo de outro modo: SE a xícara não tivesse alça seria fácil deformá-la até uma esfera ).

A prova rigorosa - para o caso de três dimensões - foi dada próprio Poincaré. Contudo, mesmo depois de quase cem anos de esforços, ainda não se conseguiu fazer o mesmo para o caso de objetos do espaço euclidiano a quatro dimensões.

Outro aspecto interessante da lista é que inclui tanto problemas que parecem não ter nenhuma aplicabilidade, fora da Matemática, como problemas de imensa importância tecnológica. Por exemplo, o Problema "P versus NP" é de enorme relevância em campos que vão desde a Engenharia até a criptografia aplicada aos serviços militares e às transações comerciais e financeiras via Internet.

Esse problema, incidentalmente, é um outro que tem uma formulação fácil de ser entendida. De modo simplificado, ele pergunta se existem problemas matemáticos cuja resposta pode ser verificada em tempo prático ( por exemplo, em tempo polinomial ) MAS que não podem ser resolvidos ( diretamente, sem se ter um candidato à solução ) em tempo prático. Ilustrando: se alguém lhe disser que o número 13 717 421 pode ser escrito como o produto de dois outros inteiros, V. provavelmente demorará para provar isso; contudo, se lhe assoprarem que ele é o produto de 3 607 por 3 803, V. seria capaz de muito rapidamente verificar tal fato.

O problema "P versus NP" parte da constatação que são muito frequentes as situações em que parece ser muito mais rápido verificar solução do que achar um processo de resolução, e então pergunta: isso sempre ocorre, ou simplesmente ainda não descobrimos um modo de resolvê-los rapidamente?

Para uma discussão mais desenvolvida, mas ainda evitando tecnicalidades, sobre o Problema "P versus NP", V. pode visitar nossa página sobre o um outro problema clássico: O Problema do Caixeiro Viajante.

Fonte: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/novidade.html

            

Porcentagem

O que é?

É a expressão fracionária (razão) sendo o denominador igual a 100, tendo com o objetivo representar a proporção ou uma relação entre dois números a partir do fração por cem. Eles são acompanhadas do símbolo "%" (por cento).

Exemplos

7% = Lê-se sete por cento

59% = Lê-se cinquenta e nove por cento

Como Calcular a Porcentagem

Imaginemos calcular o valor de 50% de 158.

O valor de 158 equivale proporcionalmente a 100% do total, logo:

                                                             158 - 100%
                                                                x  -   50%
Aplicando a regra de três obtemos a equação:

                                  100.x = 50 . 158
                                         x =  7.900/100
                                         x = 79

Portanto, 50% de 158 equivale a 79 do total.

Um outro exemplo, temos um total de 120 e gostaríamos de obter a porcentagem que representasse uma parte desse total no valor de 30, como calcular?

Aplicando o mesmo conceito do exemplo anterior obtemos:
                                                           
                                                           120 - 100%
                                                              30 - y

                                  120 .y = 30 . 100
                                          y = 3000/120
                                          y = 25%

Portanto 30 de 120 equivaleria a 25%.

Autor: Bernardo Ryoichi Dias Taniguti