Princípio fundamental de contagem

Caro leitor:

O objetivo do tópico é introduzir os conceitos básicos dos problemas de contagem nas séries iniciais. Não serão demonstrados casos que envolvam conhecimentos mais avançados.
Boa leitura.

Sabe-se que o PFC (princípio fundamental da contagem) surge da contagem das possibilidades existentes para combinarmos certos elementos, objetos. Quando pensamos em contagem, pensamos em operações aritméticas.

É importante notar que usamos com maior frequência quatro operações nas resoluções destes problemas: multiplicação, adição, divisão e subtração. Nos exercícios que serão citados, basicamente utilizaremos multiplicação e adição. 

Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressora e 3 tipos de "CPU". 
Solução: Para saber o número de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplicamos as opções:

3 x 4 x 2 x 3 = 72

Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes.

Um problema que ocorre é quando aparece a palavra "ou", como na questão:

Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento?

A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela comida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades:

(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90.

Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis.

Exemplo 3: Quantos números de três algarismos podem formar os dígitos 4, 6, 7, 8 e 9?

Solução: Para formar um número de três algarismos devemos escolher três algarismos ente os cinco propostos. Observe que a ordem da escolha é de extrema importância. Por exemplo: Se escolhermos os números 4, 6 e 9 nesta ordem formará o número 469. No entanto se escolhermos os mesmos algarismos em ordem diferente formará outro número. Por exemplo: se escolhermos 6, 9 e 4 nesta ordem o número obtido será 694. Os dois números possuem os mesmos algarismos com ordens diferentes. Vemos, portanto, que este é um tipo de problema onde a ordem de escolha dos algarismos é de fundamental importância.

Devemos notar também que podemos formar números como 664, 788, 999 etc. Ou seja, números com algarismos repetidos.

Pelo princípio fundamental da contagem a quantidade de números de três algarismos que poderemos formar será = (número de maneira de escolhermos o primeiro algarismo) x (O número de maneiras de escolhermos o segundo) X (o número de maneiras de escolhermos o terceiro algarismos)

= 5 X 5 X 5 = 125 números.

Exemplo 4: Quantos números de três algarismos distintos podem formar os dígitos 4, 6, 7, 8 e 9?

Solução: O raciocínio para este problema é o mesmo do exemplo 3. A única diferença é que não podemos formar números como 999, 466, 788, pois estes números possuem algarismos repetidos. Em outras palavras se um algarismo foi escolhido para compor o número ele não poderá mais ser escolhido. Portanto temos cinco maneiras de escolher o primeiro algarismos, já para a escolha do segundo algarismo temos quatro possibilidades de escolha, uma vez que o primeiro algarismo não poderá mais ser escolhido, e três possibilidades para o terceiro algarismos, pois dois algarismos já foram escolhidos. 

Assim temos:

Pelo princípio fundamental da contagem a quantidade de números de três algarismos distintos que poderemos formar será = (número de maneira de escolhermos o primeiro algarismo) x (O número de maneiras de escolhermos o segundo) X (o número de maneiras de escolhermos o terceiro algarismos)

= 5 X 4 X 3 = 60 números.

Fonte:

www.cead.ufop.br

www.infoescola.com/matematica/principio-fundamental-da-contagem/

Operações com Números Naturais

Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.

A adição de números naturais
A primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.

Propriedades da Adição

1.   Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.

2.   Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.

3.   Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.

4.   Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.

Multiplicação de Números Naturais

É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.

Exemplo: 5 vezes 8 é somar o número 8 cinco vezes:

5 x 8 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40

O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.

Propriedades da multiplicação

1.   Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais números naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.

2.   Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.

(a.b).c = a.(b.c)

(2.4).6 = 2.(4.6) = 48

3.   Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:

1.n = n.1 = n

1.7 = 7.1 = 7

4.   Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento.

a.b = b.a

3.4 = 4.3 = 12

Propriedade Distributiva

Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.

a.(b+c) = a.b + a.c

6 x (5+3) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48

Divisão de Números Naturais

Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.

Relações essenciais numa divisão de números naturais

1.   Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.

30 : 6 = 5

2.   Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.

30 = 5 x 6

3.   A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever:

n ÷ 0 = q

e isto significaria que:

n = 0 x q = 0

o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.

Potenciação de Números Naturais

Para dois números naturais p e q, a expressão pq é um produto de q fatores iguais ao número p, ou seja:

pq = p . p . p ... p . p

p aparece q vezes

O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é p. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é q. O resultado é denominado potência.

Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo:

53 = 5 × 5 × 5 = 125

24 = 2 × 2 × 2 x 2 = 16

Fontes:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-naturais.htm
http://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/