Princípio fundamental de contagem

Caro leitor:

O objetivo do tópico é introduzir os conceitos básicos dos problemas de contagem nas séries iniciais. Não serão demonstrados casos que envolvam conhecimentos mais avançados.
Boa leitura.

Sabe-se que o PFC (princípio fundamental da contagem) surge da contagem das possibilidades existentes para combinarmos certos elementos, objetos. Quando pensamos em contagem, pensamos em operações aritméticas.

É importante notar que usamos com maior frequência quatro operações nas resoluções destes problemas: multiplicação, adição, divisão e subtração. Nos exercícios que serão citados, basicamente utilizaremos multiplicação e adição. 

Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressora e 3 tipos de "CPU". 
Solução: Para saber o número de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplicamos as opções:

3 x 4 x 2 x 3 = 72

Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes.

Um problema que ocorre é quando aparece a palavra "ou", como na questão:

Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento?

A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela comida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades:

(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90.

Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis.

Exemplo 3: Quantos números de três algarismos podem formar os dígitos 4, 6, 7, 8 e 9?

Solução: Para formar um número de três algarismos devemos escolher três algarismos ente os cinco propostos. Observe que a ordem da escolha é de extrema importância. Por exemplo: Se escolhermos os números 4, 6 e 9 nesta ordem formará o número 469. No entanto se escolhermos os mesmos algarismos em ordem diferente formará outro número. Por exemplo: se escolhermos 6, 9 e 4 nesta ordem o número obtido será 694. Os dois números possuem os mesmos algarismos com ordens diferentes. Vemos, portanto, que este é um tipo de problema onde a ordem de escolha dos algarismos é de fundamental importância.

Devemos notar também que podemos formar números como 664, 788, 999 etc. Ou seja, números com algarismos repetidos.

Pelo princípio fundamental da contagem a quantidade de números de três algarismos que poderemos formar será = (número de maneira de escolhermos o primeiro algarismo) x (O número de maneiras de escolhermos o segundo) X (o número de maneiras de escolhermos o terceiro algarismos)

= 5 X 5 X 5 = 125 números.

Exemplo 4: Quantos números de três algarismos distintos podem formar os dígitos 4, 6, 7, 8 e 9?

Solução: O raciocínio para este problema é o mesmo do exemplo 3. A única diferença é que não podemos formar números como 999, 466, 788, pois estes números possuem algarismos repetidos. Em outras palavras se um algarismo foi escolhido para compor o número ele não poderá mais ser escolhido. Portanto temos cinco maneiras de escolher o primeiro algarismos, já para a escolha do segundo algarismo temos quatro possibilidades de escolha, uma vez que o primeiro algarismo não poderá mais ser escolhido, e três possibilidades para o terceiro algarismos, pois dois algarismos já foram escolhidos. 

Assim temos:

Pelo princípio fundamental da contagem a quantidade de números de três algarismos distintos que poderemos formar será = (número de maneira de escolhermos o primeiro algarismo) x (O número de maneiras de escolhermos o segundo) X (o número de maneiras de escolhermos o terceiro algarismos)

= 5 X 4 X 3 = 60 números.

Fonte:

www.cead.ufop.br

www.infoescola.com/matematica/principio-fundamental-da-contagem/