domingo, 22 de junho de 2014

Magnetismo

A história do magnetismo


Imagem do sóbiologia
Magnetita
O magnetismo é conhecido por volta do século VII A.C. na Grécia antiga na região da Magnésia, por causa de observações nas propriedades magnéticas em certos corpos de um mineral, na qual deu o nome de magnetita, abundante neste local.
Mas, o estudo mais aprofundado sobre o magnetismo ocorreu do século XVI com Willian Gilbert, seu principal trabalho  “De Magnete, Magneticisque Corporibus, et de Magno Magnete Tellure”, sobre os ímãs, os corpos magnéticos e o grande imã terrestre, onde conclui que a Terra era magnética e por isso as bússolas apontam para o norte.

Em fins do século XVIII, Charles Coulomb introduziu a lei dos polos inversos de atração e repulsão.
No século XIX, Hans Christian Oersted, conseguiu provar experimentalmente a relação da corrente elétrica e a criação de um campo magnético, ele reparou que a agulha de uma bússola desviava do norte magnético quando a corrente elétrica era ligada ou desligada.
Andrè-Marie Ampère (1822), se baseando no experimento de Oersted conseguiu distinguir entre a intensidade da corrente que circunda um condutor e a força impulsora e criou o solenoide, além de criar a lei de Ampére,onde consegue calcular o campo magnético a partir das distribuição da densidade de corrente elétrica ou de uma corrente elétrica . Sua obra mais importante "Mémoire sur la Théorie Mathématique des Phénomènes Electrodynamiques".
Carl Friederich Gauss, no século XIX, desenvolveu o sistema de medidas em eletromagnética. Ele Estabelece a relação entre o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada e as cargas que estão no interior dessa superfície, chamada de lei de Gauss.
Michael Faraday em 1831 descobriu a indução eletromagnética, um fenômeno que origina a produção da força eletromotriz (Tensão) num meio exposto a um campo magnético variável, ou em um meio magnético estático, com isso propondo a Lei de Faraday expressou a magnitude da tensão induzida é proporcional à variação do fluxo magnético.
           James Maxwell,  conseguiu interligar a lei de Ampére, a lei de Gauss e a indução eletromagnética de Faraday. Demonstrando que campos magnéticos e elétricos se propagam na velocidade da luz. Em 1864, demonstrou que as forças elétricas e magnéticas tem a mesma natureza.

James Clerk Maxwell


Lei de Biot-Savart


Quando um condutor elétrico atravessa uma corrente elétrica, um campo magnético aparece em sua volta. Para saber a direção e o sentido do campo magnético utilizamos a Regra da Mão Direita em diferentes pontos através da Lei de Biot-Savart.

Onde R é o raio do centro do condutor até a linha de campo magnético desejada, μ é a permeabilidade magnética do meio e I é a corrente elétrica.

Lei de Ampère


A Lei de Ampère determina o sentido do campo magnético através do sentido da corrente,  também utilizada pela regra da Mão Direita.
Ela permite determinar a intensidade do campo magnético pelo:



Lei de Gauss

A lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico resultante Φ de um campo elétrico, através de uma superfície fechada, com a carga resultante que é envolvida por essa superfície.



Onde:
ε0 = constante de permissividade elétrica no vácuo
Φ = fluxo elétrico resultante
q = carga elétrica envolvida 

Fluxo magnético e indutância

Peça Lei de Gauss aplicada ao magnetismo é estabelecido que a integral de superfície do campo magnético sobre uma área fechada valesse 0. Mas em áreas abertas constitui uma grandeza escalar chamada fluxo magnético.



Lei de Faraday

A lei de Faraday relaciona a força eletromotriz que foi gerada entre os terminais do condutor e a variaçãi de fluxo magnético em um determinado intervalo de tempo, expresso por:



Referências: 


quarta-feira, 4 de dezembro de 2013

Princípio fundamental de contagem

Caro leitor:

O objetivo do tópico é introduzir os conceitos básicos dos problemas de contagem nas séries iniciais. Não serão demonstrados casos que envolvam conhecimentos mais avançados.
Boa leitura.




Sabe-se que o PFC (princípio fundamental da contagem) surge da contagem das possibilidades existentes para combinarmos certos elementos, objetos. Quando pensamos em contagem, pensamos em operações aritméticas.

É importante notar que usamos com maior frequência quatro operações nas resoluções destes problemas: multiplicação, adição, divisão e subtração. Nos exercícios que serão citados, basicamente utilizaremos multiplicação e adição. 

Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressora e 3 tipos de "CPU". 
Solução: Para saber o número de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplicamos as opções:
3 x 4 x 2 x 3 = 72

Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes.

Um problema que ocorre é quando aparece a palavra "ou", como na questão:

Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento?

A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela comida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades:
(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90.

Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis.

Exemplo 3: Quantos números de três algarismos podem formar os dígitos 4, 6, 7, 8 e 9?


Solução: Para formar um número de três algarismos devemos escolher três algarismos ente os cinco propostos. Observe que a ordem da escolha é de extrema importância. Por exemplo: Se escolhermos os números 4, 6 e 9 nesta ordem formará o número 469. No entanto se escolhermos os mesmos algarismos em ordem diferente formará outro número. Por exemplo: se escolhermos 6, 9 e 4 nesta ordem o número obtido será 694. Os dois números possuem os mesmos algarismos com ordens diferentes. Vemos, portanto, que este é um tipo de problema onde a ordem de escolha dos algarismos é de fundamental importância.

Devemos notar também que podemos formar números como 664, 788, 999 etc. Ou seja, números com algarismos repetidos.

Pelo princípio fundamental da contagem a quantidade de números de três algarismos que poderemos formar será = (número de maneira de escolhermos o primeiro algarismo) x (O número de maneiras de escolhermos o segundo) X (o número de maneiras de escolhermos o terceiro algarismos)
= 5 X 5 X 5 = 125 números.

Exemplo 4: Quantos números de três algarismos distintos podem formar os dígitos 4, 6, 7, 8 e 9?

Solução: O raciocínio para este problema é o mesmo do exemplo 3. A única diferença é que não podemos formar números como 999, 466, 788, pois estes números possuem algarismos repetidos. Em outras palavras se um algarismo foi escolhido para compor o número ele não poderá mais ser escolhido. Portanto temos cinco maneiras de escolher o primeiro algarismos, já para a escolha do segundo algarismo temos quatro possibilidades de escolha, uma vez que o primeiro algarismo não poderá mais ser escolhido, e três possibilidades para o terceiro algarismos, pois dois algarismos já foram escolhidos. 

Assim temos:
Pelo princípio fundamental da contagem a quantidade de números de três algarismos distintos que poderemos formar será = (número de maneira de escolhermos o primeiro algarismo) x (O número de maneiras de escolhermos o segundo) X (o número de maneiras de escolhermos o terceiro algarismos)
= 5 X 4 X 3 = 60 números.

Fonte:

www.cead.ufop.br

www.infoescola.com/matematica/principio-fundamental-da-contagem/



segunda-feira, 14 de outubro de 2013

Sistemas de numeração

A ideia do texto é apresentar de forma simplificada alguns sistemas de numeração utilizados pela humanidade no decorrer de sua história. Conceitos de números fracionários não serão abordados nesse instante.


Introdução


Sistema de Numeração é um sistema que representa números de uma forma consistente, representando uma grande quantidade de números úteis, dando a cada número uma única representação, reflete as estruturas algébricas e aritméticas dos números.
Foram criados então símbolos e regras originando assim os diferentes Sistemas de Numeração.


Sistema de Numeração Chinês


A numeração chinesa é um dos sistemas de numeração mais antigos e complexos da história.
Há 3.600 anos, o povo chinês era dividido em pequenos povoados que se localizavam às margens do Rio Amarelo, o Huang He. Após quase 1.500 anos, estes povos se uniram num só, unificando sua língua, sua escrita e o sistema numérico- muito importante para a religião e para a administração desta sociedade.


Registros numéricos escritos em cascos de tartaruga foram encontrados na cidade chinesa de Henan mostravam traços horizontais e verticais que representavam as dezenas e as centenas. Esta era só uma das muitas representações numéricas usadas ao longo da história da china. Uma delas é o Suan Zi (cálculo em barras), método usado há cerca de 2.700 anos.




Apesar do sistema Suan Zi funcionar bem, a escrita numérica mais famosa da China e ainda usada em algumas ocasiões nos dias atuais, é composta por treze símbolos diferentes. Para representar os números, este método se baseia no princípio multiplicativo.
Funciona do seguinte modo: para representar o número 40 é preciso escrever o símbolo do número 4 ao lado do símbolo do número 10. Assim, se entende que 4 multiplicado por 10 resultaria em 40.


Vejamos a seguir alguns exemplos da escrita da numeração chinesa: 

                      



Sistema de Numeração Maia


O sistema de numeração maia adotado pela civilização pré-colombiana dos Maias é um sistema de numeração vigesimal, ou seja, tem base vinte. A origem desta base de contagem é o número de dedos somando os dedos das mãos e o dos pés.


Os numerais são representados por símbolos compostos por pontos e barras, sendo o zero a única exceção por ser representado pelo desenho de uma concha. A soma de cinco pontos constitui uma barra, dessa forma, se usarmos os símbolos maias para escrever o numeral oito, utilizaremos três pontos sobre uma barra horizontal.
Outro exemplo, o número doze é escrito usando dois pontos na horizontal sobre duas barras também horizontais.


Curiosidades sobre o sistema de numeração maia: O símbolo “.” era usado até quatro vezes, o símbolo “-” era usado até três vezes.


Os números 4, 5 e 20 eram importantes para os Maias, pois eles tinham a ideia de que o 5 formava uma unidade (a mão) e o número 4 estava ligado à soma de quatro unidades de 5, formando uma pessoa (20 dedos). De acordo com a história, os cálculos maias foram os primeiros a utilizar a simbologia do zero no intuito de demonstrar um valor nulo. Também é atribuído ao sistema de numeração Maia a organização dos números em casas numéricas.




Números superiores a dezenove são escritos na vertical seguindo potências de vinte em notação posicional. Por exemplo o número trinta e três é escrito como um ponto seguido logo abaixo por três pontos horizontais sobre duas barras que representam uma vintena e treze unidades. De fato 20 + 13 = 33 usando o sistema decimal.


Sistema de Numeração Egípcio


O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números chave: 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000 e 1.000.000, um traço vertical representava 1 unidade, um osso de calcanhar invertido representava o número 10, um laço valia 100 unidades, uma flor de lótus valia 1.000, um dedo dobrado valia 10.000, um girino representava 100.000 unidades, uma figura ajoelhada, talvez representando um deus valia 1.000.000.


Para representar os outros números eram feitas combinações, como por exemplo:



Os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos, o que para a atualidade é imprescindível. Esse sistema de numeração servia para efetuar cálculos que envolviam números inteiros. A técnica era efetuar todas as operações matemáticas através de uma adição.

Sistema de Numeração Babilônico

Quem pensa que não utilizamos o sistema babilônico, está enganado, pois a divisão das 24 horas, uma hora em 60 minutos e os minutos em 60 segundos, é uma herança dos babilônicos. O sistema babilônico utiliza a base 60 para a formação de seus numerais.


O sistema sexagesimal, também conhecido como sistema de numeração babilônico, necessita de 60 algarismos diferentes de 0 a 59. Para compor esses números eles usam a base 10 (utilizada no sistema de numeração decimal, o utilizado atualmente), para associar símbolos que correspondiam aos 60 “algarismos” necessários.


Somente dois símbolos básicos, o ( para as unidade e o  para as dezenas eram combinados para formar os dígitos de 1 a 59.


O zero? Os babilônios já tinham o conceito do zero e, como esse não era nenhuma quantidade, indicavam-no com um espaço vazio.


Eles são responsáveis pela aquisição do sistema numérico posicional, para entendemos melhor esse sistema, observe o exemplo abaixo:


O número 23.465 representado no sistema decimal (base 10) ficaria assim:
23465 = (2 x 104) + (3 x 103) + (4 x 102) + (6 x 10) + (5 x 100) ou seja 20.000 + 3.000 + 400 + 60 + 5.


Se mudarmos a base do sistema, o valor do número 23.465 também muda. Vamos utilizar agora a base 6 veja:
23465 = (2 x 64) + (3 x 63) + (4 x 62) + (6 x 61) + (5 x 60) ou seja 2592 + 648 + 144 + 36 + 5 = 3425.


Sistema de Numeração Romano


Esse Sistema de numeração é o mais usado nas escolas, depois do sistema de
numeração decimal. E também na representação de:


• designação de séculos e datas;


• indicação de capítulos e volumes de livros;


• mostradores de alguns relógios, etc.


A numeração romana utiliza sete letras maiúsculas, que correspondem aos seguintes valores:


Exemplos: XVII = 17; LXXVII = 77.
Se à direita de uma cifra romana se escreve outra igual ou menor, o valor desta se soma ao valor da anterior.


Exemplos:
VI = 6
XXXII = 32
LXVII = 67
A letra "I" colocada diante da "V" ou de "X", subtrai uma unidade; a letra "X", precedendo a letra "L" ou a "C", lhes subtrai dez unidades e a letra "C", diante da "D" ou da "M", lhes subtrai cem unidades.


Exemplos:
IV = 4
IX = 9
XL = 40
XC = 90
CD = 400
CM = 900


Em nenhum número se pode pôr uma mesma letra mais de três vezes seguidas. Antigamente se via as vezes a letra "I" ou a "X" até quatro vezes seguidas.


Exemplos:
XXXIII = 33
XIV = 14
XXIII = 23
XXXIV = 34
A letra "V", "L" e a "D" não podem se duplicar porque outras letras ("X", "C", "M") representam seu valor duplicado.


Se entre duas cifras quaisquer existe outra menor, o valor desta pertencerá a letra seguinte a ela.


Exemplos:
XIX = 19
LIV = 54
CXXIX = 129


O valor dos números romanos quando multiplicados por mil, colocam-se barras horizontais em cima dos mesmos.


Exemplos:


Fontes:

domingo, 18 de agosto de 2013

Operações com Números Naturais

Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.

A adição de números naturais
A primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.



Propriedades da Adição
1.   Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.


2.   Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.


3.   Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.


4.   Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.




Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.



Exemplo: 5 vezes 8 é somar o número 8 cinco vezes:

5 x 8 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40

O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.



Propriedades da multiplicação
1.   Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais números naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.


2.   Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.

(a.b).c = a.(b.c)
(2.4).6 = 2.(4.6) = 48

3.   Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:

1.n = n.1 = n
1.7 = 7.1 = 7

4.   Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento.

a.b = b.a
3.4 = 4.3 = 12

Propriedade Distributiva
Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.


a.(b+c) = a.b + a.c

6 x (5+3) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48

Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.


Relações essenciais numa divisão de números naturais
1.   Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.

30 : 6 = 5

2.   Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.

30 = 5 x 6

3.   A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever:
n ÷ 0 = q

e isto significaria que:
n = 0 x q = 0

o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.

Potenciação de Números Naturais
Para dois números naturais p e q, a expressão pq é um produto de q fatores iguais ao número p, ou seja:

pq = p . p . p ... p . p
p aparece q vezes

O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é p. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é q. O resultado é denominado potência.
Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo:

53 = 5 × 5 × 5 = 125
24 = 2 × 2 × 2 x 2 = 16